中国计量科学研究院  陶香琴

　　编者按
　　该文作者长期从事激光干涉测量和对标准钢卷尺进行量值传递的工作，文中对标准钢卷尺测量结果不确定度的评定思路、评定方法和步骤，概率分布的处理，怎样取值和计算，尤其对标准钢卷尺任一长度的测量结果扩展不确定度，用统一表达式来表示的方法，进行了系统的论述，是一篇规范化的专业不确定度评定文章，可供有关人员工作中参考。
　　本文介绍以优质碳素钢为材料制造的标准钢卷尺测量结果不确定度的评估方法；与因瓦或不锈钢为材料制造的标准钢卷尺的分析方法类同。    

　　一、测量原理和方法

　　依据JJG74-1991《标准钢卷尺》检定规程，标准钢卷尺的实际长度，是在27m动态校准仪标准装置上，用读数显微镜对其零分划线及被测分划线进行瞄准定位，而两分划线间的长度，由移动棱镜产生的偏振光干涉距离确定。也就是说，在双频激光动态校准仪上，通过偏振光干涉测量原理，将激光波长直接复现到被检标准钢卷尺上，实现绝对法测量。    

　　二、数学模型

　　标准钢卷尺在20℃时的长度L_20℃(输出量估计值)由下式求得:
　　L_20℃=L+[92.9(T-20℃)-0.269(P-101325Pa)+0.042(F-1333.2Pa)]×10^-8L-α(T₁-20℃)L    (1)

　　(1)式即为求解输出量估计值与输入变量函数关系的数学模型。
　　式中:L——在检定环境下动态校准仪测得的长度，m；T——沿光路的空气平均温度，℃；P——空气压力，Pa；F——空气中水蒸汽分压，Pa；α——标准钢卷尺在常温条件下的平均温度线膨胀系数，℃^-1；T₁——标准钢卷尺的平均温度，℃。    

　　三、方差和灵敏系数

　　根据方差合成定律，输出量的估计方差为各输入量的估计方差所合成。由于(1)式是一线性数学模型，同时，式中各输入量按相互独立互不相关处理，因而在方差合成中不考虑高阶项及相关项的影响。依方程:
　　
　　将函数式(1)对各输入变量求偏导,可得输出量估计方差:
    

　　这里要指出的是，在(5)式中遗漏了一项不能用解析形式的数学表达式来表示的不确定度来源，但它们对输出量估计方差有很大影响，即测量装置调整不完善引入的不确定度。

　　由于固定在同一运行小车上的读数显微镜的视准轴与移动棱镜顶角之间，存在水平面内60mm的距离，当它们随小车移动时所产生的被测轴线与标准轴线既不重合，又不在各自的延长线上，也就是不符合测量的阿贝原则，这样，当导轨在水平面内产生直线性偏摆时，便会产生测量结果的阿贝误差，标准钢卷尺测量中的导轨直线性阿贝误差，已成为重要的不确定度来源，因而输出量估计方差的完整表达式应为:
    
    式中:u₇=u(L_Φ)——导轨直线性偏差引入的标准不确定度分量。
    由(6)式可以看出，对输出量估计方差有所贡献的不确定度来源于四大部分:

　　1.测量长度L的标准不确定度分量u₁；
　　2.光路空气折射率修正中，温度、气压、湿度测量引入的标准不确定度分量u₂、u₃、u₄，其中忽略了Edlen公式本身的不确定度，及空气成分中CO₂含量对折射率的影响；
　　3.标准钢卷尺的温度线膨胀系数及尺温测量引入的标准不确定度分量u₅、u₆；
　　4.测量装置调整不完善引入的标准不确定度分量u₇。    

　　四、不确定度来源(见表1)   

　　五、输入量标准不确定度评定

　　1.测量长度L的标准不确定度分量u₁
　　前面已经提及，标准钢卷尺在检定环境下的长度L是通过偏振光干涉测量的原理将激光波长直接复现到被检长度上的。而激光波长值的准确度、激光频率的稳定度、标准钢卷尺引张力的变化、读数显微镜对分划线的瞄准偏差等都将影响长度L的测量不确定度。

　　(1)激光平均真空波长值的标准不确定度u(L₁)
　　由动态校准仪提供的技术参数:其平均真空波长值为632.991354nm±1×10^-7L(k=3)
　　则由真空波长值引入的标准不确定度
　　u(λ)=Δλ∕3=1×10^-7L/3=3.3×10^-8L
　　估计该波长值的标准不确定度具有99%的可靠性，则u(λ)的自由度为:
　　
　　可认为该自由度为无穷大，故
　　u(L₁)=u(λ)=3.3×10^-8L
　　ν_1.1=∞

　　(2)激光频率稳定度引入的标准不确定度u(L₂)
　　根据动态校准仪提供的技术参数，激光频率的长期稳定度为2×10^-8L，按k=3处理，则
　　u(L₂)=2×10^-8L∕3=0.7×10^-8L
　　同样认为，该标准不确定度具有99%的可靠性，则
　　ν_1.2=∞

　　(3)标准钢卷尺引张力变化引入的标准不确定度u(L₃)
　　根据检定规程，标准钢卷尺的长度是指在规定引张力(49N或98N)下的长度，而检定平台与尺面间的摩擦力及滑轮摩擦力、重锤重量的偏差等都会使引张力发生变化，从而引起尺长变化。
　　该测量装置采用双滚动轴承检定平台及滑轮，由实验得，标准钢卷尺引张力最大变化为:
　　ΔP=±0.15N
　　由此带来的尺长最大测量误差为:
　　ΔL=±27.6×10^-8L
　　在缺乏更多信息情况下，一般估计被测量值以等概率全部落入分散区间内更合理，也即被测量值在分散区间内服从均匀分布，这样在保证同样置信概率下求得的标准不确定度，比正态分布、三角分布、梯形分布都要大，从而显得更为安全可靠。
　　故该误差引入的标准不确定度为:
　　
　　估计u(L₃)有75%的可靠性，则自由度:
　　 

　　(4)测量重复性估算的标准不确定度u(L₄)
　　此项不确定度主要体现在读数显微镜对标准钢卷尺分划线的瞄准偏差上。根据历次实验检测记录，单一瞄准实验标准差S_r=1.2μm，ν=9。检定标准钢卷尺长度时，需要对零分划线及被测分划线分别瞄准，检定时取两次测量的均值为测量结果，则
    
    合成以上四项，得在检定环境下测量标准钢卷尺长度L的标准不确定度分量:
    
    将L=5m代入
    u(L₃)=0.80μm
    u₁=u(L)=1.45μm
    依公式，自由度:
    
    由于ν_1.1=ν_1.2=∞，故u(L₁)、u(L₂)不参与对ν(L)的评定，则
    
    自由度取整时，一般截尾而不进位，这样在同样置信概率下查表所得包含因子k值较大而比较安全，故
    u₁=[(16.3×10^-8L)²+(1.2μm)²]^1/2
    ν₁=15

　　2.空气温度测量引入的标准不确定度分量u₂
　　标准钢卷尺在(20±0.3)℃恒温室内检定，室内沿测线方向温度梯度优于0.3℃，光路上用10支均布的温度传感器测定空气平均温度，气温测量可准确到0.1℃，考虑测量过程温度波动等因素的影响，气温最大测量误差为:
　　ΔT=±0.15℃
　　估计为均匀分布，则测温标准不确定度为:
    
    故空气温度测量引入的标准不确定度分量为:
    u₂=C₂u(T)=8.4×10^-8L
    按u(T)有90%可靠性估计，则
    

　　3.光路气压测量引入的标准不确定度分量u₃
　　光路气压用10Pa数字压力计测定，其气压订正值可忽略不计，考虑测量过程气压波动等因素的影响，气压最大测量误差为:
    ΔP=±30Pa
    按矩形分布估计，气压测量标准不确定度为:
    
    故由气压测量引入的标准不确定度分量为:
    u₃=C₃u(P)=4.6×10^-8L
    估计u(P)的相对标准不确定度为10%，则
    

　　4.空气湿度测量引入的标准不确定度分量u₄
　　已知空气相对湿度的最大测量误差为:ΔU=±10%RH
　　换算成空气中水蒸汽分压测量误差为:ΔF=±234Pa
　　按矩形分布估计，湿度测量标准不确定度为: 
　　 
　　故由湿度测量引入的标准不确定度分量为:
　　u₄=C₄u(F)=5.7×10^-8L
　　估计u(F)的相对标准不确定度为20%，则
　　 

　　5.标准钢卷尺温度线膨胀系数引入的标准不确定度分量u₅
　　标准钢卷尺的材料，可用优质碳素钢、不锈钢和因瓦材料制造,它们在常温范围内(-5℃～35℃)的平均温度线膨胀系数及用“空调法”测量的标准不确定度见表2。    

　　从表中看出,三种材料的温度线膨胀系数α相差极大,其标准不确定度u(α)也不同。
　　在实验室内，恒温要求为(20±0.3)℃，即(T₁-20℃)=±0.3℃
　　对用优质碳素钢为材料的标准钢卷尺，由温度线膨胀系数引入的标准不确定度分量为:
　　u₅=C₅u(α)=(T₁-20℃)L×u(α)=0.3℃L×1×10^-7 ℃^-1=3×10^-8L
　　估计u(α)的可靠性为90%，故:
　　

　　6.标准钢卷尺温度测量引入的标准不确定度分量u₆
　　标准钢卷尺的温度，同样以在其旁边的温度传感器测定，考虑到测量过程空气温度波动时金属材料温度对空气温度的滞后现象，尺温最大测量误差可能达:
    ΔT₁=±0.2℃
    估计其为均匀分布，则尺温测量标准不确定度:
    
    对优质碳素钢标准钢卷尺，由尺温测量引入的标准不确定度分量为:
    u₆=C₆u(T₁)=αLu(T₁)=11.5×10^-6 ℃^-1L×0.12℃=138×10^-8L
    估计u(T₁)有85%可靠性，故
    

　　7.测量装置调整不完善引入的标准不确定度分量u₇
　　根据实验检测，导轨在水平面内直线性偏摆产生的最大测量误差为:
　　ΔL_Φ=±1.8μm
　　估计其为矩形分布，则
　　
　　估计u(L_Φ)有75%可靠性，则
　　
　　而导轨在垂直面内的倾斜，使被测量与标准量产生同向同量的长度变化，在比较结果中相互抵消而可不考虑。    

　　六、输入量标准不确定度的合成

　　由(6)式可得:
    
    将L=5m代入，则
    uc(L_20℃)=7.13μm
    而u₁=1.45μm，u₂=0.42μm，u₃=0.23μm，u₄=0.28μm，u₅=0.15μm，u₆=6.90μm，u₇=1.04μm
    ν₁=15，ν₂=50，ν₃=50，ν₄=12，ν₅=50，ν₆=22，ν₇=8
    则合成标准不确定度的有效自由度为:
    
    

　　七、扩展不确定度

　　根据概率论的中心极限定理，大量独立分布的随机变量，其和的概率分布近似于正态分布；由于本文分析的合成标准不确定度，是由有限个随机变量所合成，它的概率分布可按近似于正态分布的t分布处理。另一方面，作为量值传递中的标准尺，我们要求其测量结果扩展不确定度达到约99%的置信水准。

　　故由置信概率P=99%和有效自由度ν_eff=24，查t分布表，可得临界值t_p(ν)，则包含因子:
    k₉₉=t_p(ν_eff)=t₉₉(24)=2.80
    扩展不确定度为:
    U₉₉=k₉₉u_c(L_20℃)=2.80×[(139×10^-8L)²+(1.59μm)²]^1/2    (8)
    将L分别以0.1m、1m、5m、10m、25m代入(8)式，则U₉₉分别为:
    4.5μm、5.9μm、20.0μm、39.2μm、97.4μm
    由上面数据我们归纳成:对任一长度测量结果的扩展不确定度可表示为:
    U₉₉=(4+4L)μm   L以米为单位    (9)    

　　八、不确定度报告

　　在(20±0.3)℃环境条件下，以激光波长为标准，对以优质碳素钢为材料的标准钢卷尺任一长度的测量结果扩展不确定度为:
　　U₉₉=(4+4L)μm   L以米为单位
　　该扩展不确定度由不随长度变化的固定部分及随长度而变的比例部分组成。
　　它的合成标准不确定度为:
　　u_c(L_20℃)=[(1.39×10^-6L)²+(1.59μm)²]^1/2
　　u_c(L_20℃)的有效自由度为:ν_eff=24
　　包含因子:k₉₉=2.80
　　该扩展不确定度具有约99%的置信水准。