北京市计量检测科学研究院　佟江

　　一、概述

    JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》、JJF1001-1998《通用计量术语及定义》给出的“测量结果”的定义是:由测量所得到的赋予被测量的值。
    JJF1059、JJF1001在表述“测量不确定度”定义时，都对“测量结果”做了补充说明:测量结果应理解为被测量之值的最佳估计……。
    根据以上信息，我们对“测量结果”的特征，有了一个总体的观点:
    (1)测量结果是测量活动中反映被测对象(被测量)本质属性的量。
    (2)测量结果是量，但具体表现为值，是由测量所得到的赋予该量的值。
    (3)测量结果只能是被测量的估计量。由于测量不确定性的存在，测量结果不可能完全反映被测量。
    (4)测量结果要满足最佳性，是被测量真值的最佳估计量。测量结果应以“尽可能好”的“最佳”方式反映被测量。
    (1)、(2)、(3)条是可以理解的，但在第(4)条中，何谓“最佳”、“尽可能好”呢？    

　　二、测量结果的最佳性

    按照“数理统计”观点，评价一个估计量好坏标准主要是指估计量是否具有以下性质。
    无偏性:设是参数θ的估计量，E()是的数学期望(或称平均值)，如果有E()=θ，则称是参数θ的无偏估计量。
    有效性:设、都是参数θ的无偏估计量，D()、D()分别是、的方差，如果有D()≤D()，则称是比有效的估计量。若是参数θ所有无偏估计量中方差最小的估计量，则称是参数θ的最有效无偏估计量，又称最优无偏估计量。
    在以“数理统计”为基础的“估值理论”中，通常把无偏性与最优性(或称最有效性)作为追求目标，所以构造估计量时，把满足这两个性质的估计量——最优无偏估计量认为是“最佳”估计量。这个结论对于测量结果同样适用，从这点出发，可对“测量结果最佳性”作出定性解释。
    测量结果是被测量真值的最佳估计量，是指得到的测量结果应该是被测量真值的最优无偏估计量，它应该具有如下两个属性:
    无偏性:是指测量结果的数学期望(或称平均值)，就是被测量真值，表明对被测量真值的估计虽有分散，但总体上不偏离。
    最优性:是指在满足无偏性条件下，测量结果的方差为最小，表明对被测量真值估计的分散程度达到最小。
    若把测量结果和被测量真值分别比作“打靶模型”中的子弹和靶心，无偏性是指数发子弹要“打得正”；最优性是指数发子弹要“打得密集(集中)”，这样的成绩才算是“最佳”的。
    根据经典的“误差理论”，测量结果除包含被测量真值，还包含系统误差、随机误差，即:
    测量结果=被测量真值+系统误差+随机误差
    随机误差是随机不确定性量，其数学期望(均值)通常设为零。系统误差是确定量，它的存在使测量结果不满足无偏性，故须考虑用系统误差值修正，使修正后的测量结果满足无偏性。然而，系统误差及其原因不能完全获知，仅能有限获知并有限修正。所以可认为，系统误差分成如下两个部分:
    确定性系统误差(以下简称确定系差)就是能够修正、补偿的系统误差部分，该部分误差可以根据已知系统效应确定，具有完全确定性，其相反数就是测量结果的修正量(值)。
    非确定性系统误差(以下简称非确定系差)就是不能够修正、补偿的系统误差部分，该部分误差由于系统的复杂性、认知的不足等因素，不能确定、难以确定或没必要确定，所以它具有等效的随机不确定性，由于对它未掌握，故其数学期望(均值)作为零处理。
    于是，系统误差是确定系差与非确定系差的合成，即:
    系统误差=确定系差+非确定系差
    测量结果就可表示为如下形式:
    测量结果=被测量真值+确定系差+非确定系差+随机误差
    现引入以下符号表示有关量:R——测量结果；δ——确定性系统误差；C——被测量真值；ε——非确定性系统误差；Δ——系统误差；ξ——随机误差。
    上述公式就是:Δ=δ+ε
    R=C+Δ+ξ=C+δ+ε+ξ
    由于C、δ、ε、ξ这些量存在质的差异，所以它们都是相互独立的量，故有:
    E(C)=C；E(δ)=δ；E(ε)=0；E(ξ)=0
    E(R)=E(C)+E(δ)+E(ε)+E(ξ)=C+δ，即E(R-δ)=C  (1)
    D(C)=0；D(δ)=0；D(ε)=σ_ε²；D(ξ)=σ_ξ²
    D(R)=σ_R²=D(C)+D(δ)+D(ε)+D(ξ)=σ_ε²+σ_ξ²  (2)
    其中，E(  )——相应量的数学期望；D(  )——相应量的方差；σ——相应量的标准差。
    从以上结论可对“测量结果最佳性”作出如下定量解释:
    无偏性:式(1)表示，用修正量(即:确定系差的相反数)修正后的测量结果，是被测量真值的无偏估计，满足无偏性。
    最优性:式(2)表示，修正后的测量结果方差(即分散性)是系统效应与随机效应引起的方差(即分散性)的合成。该方差达到最小时满足最优性，测量结果就是被测量真值的最优无偏估计量，即最佳估计量。
    从式(2)我们还得到式(3):
    
　　从式(3)得出一个重要结论，由系统效应引起的不确定性(度)分量与随机效应引起的不确定性(度)分量都贡献给了测量结果的分散性，使测量结果具有不确定性(度)。式(3)实际就是“测量不确定度”(严格地说是“标准不确定度”)的形式化数学定义。该数学表达在JJF1059、JJF1001没有明确给出，但从字里行间却能够品味到它的存在。笔者认为，式(3)对正确理解JJF1059、JJF1001中“测量不确定度”概念是有益的。

　　这样，“测量结果最佳性”又可解释为:修正后的测量结果满足无偏性，在此条件下，如果测量(标准)不确定度达到最小，则测量结果就是被测量真值的最优无偏估计量，即最佳估计量。

　　但是，如何使式(2)的测量方差，或式(3)表示的测量(标准)不确定度达到最小呢？由式(3)可知，测量不确定度σ_R是非确定系差不确定度σ_ε与随机误差不确定度σ_ξ按几何方式(或称矢量方式)合成的，非确定系差与随机误差是相互独立的，所以σ_R达到最小当且仅当σ_ε与σ_ξ都达到最小。σ_ξ是由于随机效应引起的不确定度，与统计相关，根据“数理统计”，σ_ξ有一个与随机误差概率分布f(x)和测量次数n有关的下限值L(f，n)，σ_ξ达到此下限值即达到最小，并且还可证明，，这说明通过增加测量次数n，有助于使σ_ξ达到最小。σ_ε是由于系统效应引起的不确定度，与测量手段和对系统认知的程度相关，通过改善测量手段，如正反行程读数、正倒镜测量取平均等，可以有效消除系统误差以减少σ_ε；提高对系统认知程度，研究、建立系统误差的数学模型，使更多系统效应由未知变为已知，修正到测量结果中，这是减少σ_ε的最有效途径；通过有益的信息，如测量仪器的检定或校准信息、测量系统结构信息等，获得最可靠修正量(值)修正测量结果，这是减少σ_ε的快捷手段。

　　以上讨论了“测量结果最佳性”的内涵。“测量结果最佳性”与“测量不确定度”概念的灵活性、科学严谨性是相互关联、相互映衬的。所以，正确理解它们的涵义，有益于在测量实践活动中，正确获取测量结果，正确评定测量不确定度。