安玉山

　　近年来，随着光电技术的发展，国内外出现了一系列基于光栅技术的高准确度大行程的位移传感器。光栅类传感器与其他传感器如电感、电容、容栅等比较，具有测量重复性好、准确度高、测量范围大的特点，特别是在较大行程时仍能保持非常好的线性。此外，由于电子细分技术和计算机技术的发展，大大提高了光栅类传感器的准确度，较高准确度的光栅类传感器在25mm测量范围内的最大示值误差可达到MPE=±(0.03+0.5l)μm(式中:l为测量长度，单位:m)。国外生产这类光栅传感器的厂家主要是德国HEIDENHAIN公司，国内也有厂家成功研制了这类传感器。

　　这类光栅式位移传感器主要用于量块测量，可实现在一定长度范围内的直接测量。在国外这种方法已进入实用阶段，而且有多家公司研制了基于光栅式位移传感器的量块检定仪，如德国JENA公司、Mahr公司、瑞士TESA公司、美国DZTOOLS公司等，国内厂家也有类似的产品。同比较测量相比，直接测量的优越之处在于:

　　(1)配备的标准量块大大减少，减少维护费用。
　　(2)对于各种非标准规格量块，无须研合出相应尺寸，可直接测量，大大提高了测量准确度。
　　(3)减少更换标准量块的次数，提高工作效率等。

　　下面根据规程规定的环境条件和国外该类仪器的典型技术指标对直接测量量块时的测量不确定度进行分析，在这里，我们规定直接测量的范围或比较测量中的差值不大于5mm。

　　量块检定仪技术指标简单介绍如下:该量块检定仪的直接测量范围为(0～25)mm。在直接测量范围内，最大允许示值误差不大于±(0.03+l/1000)μm(l为测量长度，单位:mm)。测量时我们用二等量块做标准。    

　　一、数学模型

　　1.量块中心长度表示式
　　利用二等标准量块和量块检定仪检定量块时，被检量块中心长度可表示为:
　　l=l_s+m-l_sα_sΔt-l_sΔα(t-20)-δ_s(ΔP_s)+δ(ΔP)  (1)
　　式中:l——被检量块在20℃时的中心长度；l_s——标准量块在20℃时的中心长度；m——量块检定仪读数；t——被检量块温度；t_s——标准量块温度；Δt=t-t_s，α——被检量块在20℃时的线性热膨胀系数；α_s——标准量块在20℃时的线性热膨胀系数；Δα=α-α_s，δ_s(ΔP_s)、δ(ΔP)——测量点偏离标准和被检量块中心所产生的误差，该值大小与测量点对中心的偏移量有关。

　　2.灵敏系数和合成标准不确定度表示式
　　对(1)式中的各影响量求偏导数，可得到对应于各影响量的灵敏系数:
    
    式中:h_s、h——标准和被测量块长度变动量。
    因此，被测量块中心长度l的合成标准不确定度u_c²(l)可表示为:
　　u_c²(l)=c₁²u²(l_s)+c₂²u²(m)+c₃²u²(α_s)+c₄²u²(Δt)+c₅²u²(Δα)+c₆²u²(t)+c₇²u²(ΔP_s)+c₈²u²(ΔP)
    

　　二、与各影响量相关的标准不确定度、自由度及不确定度分量分析

　　由于不确定度与标准量块和被测量块长度有关，因此在分析时，我们以标准二等量块长度为10mm，被检量块长度为15mm为例，此时量块检定仪的直接读数m约为5mm。

　　1.标准量块中心长度
　　当量块长度为10mm时，二等量块的测量不确定度U₉₉=60nm，覆盖因子按k=2.8计算，则标准不确定度:
　　u(l_s)=60nm/2.8=21nm
　　按柯氏干涉仪检定二等量块不确定度估计统一取其自由度为ν=32。
　　于是对应的不确定度分量和自由度为:
　　u₁=c₁u(l_s)=21nm
　　ν₁=32

　　2.量块检定仪读数m
　　量块检定仪读数m对测量不确定度的影响可分为三部分，一是示值误差的影响，定义为u(m₁)；二是测量重复性的影响，定义为u(m₂)；三是被检量块温度偏离20℃，但不进行温度修正引起的不确定度因素，定义为u(m₃)。并且认为它们相互独立，因此标准不确定度u(m)为:
    
　　下面分别计算u(m₁)、u(m₂)和u(m₃)及其自由度。

　　(1)u(m₁)及其自由度的分析
　　量块检定仪的示值误差不大于±(0.3+l/1000)μm(l为测量长度，单位:mm)。当测量长度为5mm时，其示值误差绝对值最大为35nm，按均匀分布，覆盖因子，因此标准不确定度u(m₁)为:
    u(m₁)=35/=20nm
    估计u(m₁)的相对不确定度为20%，则其自由度ν(m₁)为:
    ν(m₁)=1/(2×0.2²)=12

　　(2)u(m₂)及其自由度的分析
　　量块检定仪测量重复性可通过重复测量获得，其不确定度分量按A类评定。任取一量块放置在干涉仪上，进行20次独立的重复测量。重复测量值如下(单位:μm):
    0，0.01，0.01，0，0.02，0.01，0.02，0.01，0，0，0.01，0.01，0.01，0，0.02，0.01，0.02，0，0.01，0.01
    计算其单次测量的标准不确定度:σ=7nm，实际测量时量块检定仪读数由标准量块和被测量块高度差组成，测量时取两次读数平均值为测量结果，则标准不确定度u(m₂)为:
    
    自由度ν(m₂)为:
    ν(m₂)=20-1=19

　　(3)u(m₃)及其自由度的分析
　　检定三等量块时，环境温度要求为(20±0.3)℃，并且在该温度范围内对量块温度不作修正，温度分布为均匀分布，覆盖因子，则温度偏离20℃所引起的不确定度分量u(m₃)为:
    
    估计u(m₃)的相对不确定度为20%，则其自由度ν(m₃)为:
    ν(m₃)=1/(2×0.2²)=12

　　(4)u(m)及其自由度的分析
　　标准不确定度u(m)为:
    
    自由度ν(m)为:
    

　　(5)不确定度分量u₂及其自由度
　　不确定度分量u₂为:
　　u₂=c₂u(m)=23nm
　　自由度ν₂为:
　　ν₂=19

　　3.标准量块的线性热膨胀系数α_s
　　规程规定钢制量块的线性热膨胀系数应在(11.5±1)×10^-6℃^-1范围内，按均匀分布计算，标准不确定度u(α_s)为:
    
    估计u(α_s)的相对标准不确定度为20%，则自由度ν(α_s):
    ν(α_s)=1/(2×0.2²)=12
    检定三等量块时温度最大差Δt以0.04℃计算，因此对应的不确定度分量和自由度为:
    u₃=c₃u(α_s)=10×10⁶×0.04×0.577×10^-6=0.23nm
    ν₃=12

　　4.标准量块和被测量块的温度差Δt
　　检定三等量块时温度最大差Δt在±0.04℃范围内，按均匀分布，其标准不确定度u(Δt)为:
    u(Δt)=0.04/=0.023℃
    估计u(Δt)的相对标准不确定度为10%，则其自由度为:
    ν(Δt)=1/(2×0.1²)=50
    对应的不确定度分量和自由度为:
    u₄=c₄u(Δt)=10×10⁶×11.5×10^-6×0.023=3nm
    ν₄=50

　　5.标准量块和被测量块的线性热膨胀系数差Δα
　　钢制量块的线性热膨胀系数在(11.5±1)×10^-6℃^-1范围内，假定标准量块和被测量块的线性热膨胀系数均在±1×10^-6℃^-1范围内均匀分布，则两量块的线性热膨胀系数差Δα应在±2×10^-6℃^-1范围内服从三角分布。因此其标准不确定度为:
    
    估计u(Δα)的相对标准不确定度为10%，则其自由度为:
    ν(Δα)=1/(2×0.1²)=50
    测量三等量块时，被测量块偏离20℃标准温度不超过0.3℃，于是对应的不确定度分量和自由度为:
    u₅=c₅u(Δα)=10×10⁶×0.3×0.816×10^-6=3nm
    ν₅=50

　　6.被测量块温度t
　　在进行量块测量时，认为量块温度t等于20℃。实际上量块温度在(20±0.3)℃范围内，且服从均匀分布，则其标准不确定度为:
    
    估计u(t)的相对标准不确定度为10%，则其自由度为:
    ν(t)=1/(2×0.1²)=50
    线性热膨胀系数差Δα在±2×10^-6℃^-1范围内服从三角分布，取Δα的绝对值为1×10^-6℃^-1，则其对应的不确定度分量和自由度为:
    u₆=c₆u(t)=10×10⁶×1×10^-6×0.173=2nm
    ν₆=50

　　7.标准量块测点对中心点的偏差ΔP_s
　　测量时，由于采用定位装置，测点对中心点偏差较小。假定测点位置在量块中心0.6mm区域内均匀分布，则其标准不确定度为:
    
    估计u(ΔP_s)的相对标准不确定度为20%，则其自由度为:
    ν(ΔP_s)=1/(2×0.2²)=12
    量块长度为10mm时，二等量块的长度变动量为100nm，则其对应的不确定度分量和自由度为:
    u₇=c₇u(ΔP_s)=100/3.7×0.173=5nm
    ν₇=12

　　8.被测量块测点对中心点的偏差ΔP
　　与标准量块相同，假定测点位置在量块中心0.6mm区域内均匀分布，则其标准不确定度为:
    
    估计u(ΔP)的相对标准不确定度为20%，则其自由度为:
    ν(ΔP)=1/(2×0.2²)=12
    量块长度为15mm时，三等量块的长度变动量为160nm，对应的不确定度分量和自由度为:
    u₈=c₈u(ΔP)=160/3.7×0.173=7nm
    ν₈=12

　　9.合成标准不确定度及其自由度和扩展不确定度
　　合成标准不确定度为:
    
    有效自由度为:
    
    取置信概率为0.99，对应的有效自由度ν_eff=79，按包含因子k=3计算，则扩展不确定度为99nm。
    当被测量块长度为15mm时，三等量块测量不确定度允许值为115nm，因此该方法满足三等量块测量要求。

　　通过上述分析，我们认为利用大量程位移传感器测量量块时，当直接测量范围不大于5mm时，测量不确定度在规程规定的条件下能够满足三等量块的测量要求。
　　作者单位【深圳市计量质量检测研究院】